Ano XXV - 15 de julho de 2024

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ESTATÍSTICA - DESCRIÇÃO DE DADOS - DESVIO MÉDIO, VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO


CONHECIMENTOS BANCÁRIOS

MATEMÁTICA

NOÇÕES DE ESTATÍSTICA

2. DESCRIÇÃO DE DADOS

2.7. DESVIO MÉDIO, VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO (Revisada em 07-03-2024)

  1. MEDIDAS DE DISPERSÃO: VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO
  2. VARIÂNCIA
    1. DEFINIÇÕES
    2. VARIÂNCIA AMOSTRAL
    3. VARIÂNCIA POPULACIONAL
  3. DESVIO PADRÃO
  4. DESVIO MÉDIO

Fontes Consultadas:

  1. MEC - Estatística Aplicada à Educação - 2007 - Autor: Carlos Augusto de Medeiros
  2. UFPI - Estatística Aplica à Administração - 2007 - Autor: Marcelo Tavares
  3. UFU - Curso de Estatística Aplicada à Economia - Autor: Professor Henrique Dantas Neder
  4. BRASIL ESCOLA - UOL - Estatística - Definições e Fundamentos
  5. BRASIL ESCOLA - UOL - Estatística - Medidas de Dispersão: Variância e Desvio Padrão - Por Ama Gonçalves RIBEIRO - Graduada em Matemática

Coletânea por Américo G Parada Fº - Contador - Coordenador do COSIFE - ex Auditor do BACEN

2.7.1. MEDIDAS DE DISPERSÃO: VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO

No site Brasil Escola lê-se: Para verificar a dispersão entre os valores em um conjunto de dados, podemos utilizar duas importantes medidas: a variância e o desvio padrão. Essas duas medidas de dispersão caminham juntas, pois só calculamos o desvio padrão quando conhecemos a variância.

No estudo da , dispomos de algumas estratégias para verificar se os valores apresentados em um conjunto de dados estão dispersos ou não e o quão distantes um do outro eles podem estar. As ferramentas empregadas para que isso seja possível são classificadas como medidas de dispersão e denominadas de variância e desvio padrão.

Vejamos o que representa cada uma delas:

2.7.2. VARIÂNCIA

  1. DEFINIÇÕES
  2. VARIÂNCIA AMOSTRAL
  3. VARIÂNCIA POPULACIONAL

2.7.2.1. DEFINIÇÕES PRELIMINARES

Dado um conjunto de dados (amostra), a variância é uma medida de dispersão que mostra o quão distante cada valor desse conjunto está do valor central (médio).

Quanto menor é a variância, mais próximos os valores estão da média; mas quanto maior ela é, mais os valores estão distantes da média.

Considere que x1, x2, …, xn são os n elementos de uma amostra e que x é a média aritmética desses elementos.

2.7.2.2. VARIÂNCIA AMOSTRAL

O cálculo da variância amostral é dado por:

(varamostral) = [(x1 – x)² + (x2 – x)² + (x3 – x)² + ... + (xn – x)²] / [n-1]

2.7.2.3. VARIÂNCIA POPULACIONAL

Se, em contrapartida, quisermos calcular a variância populacional, consideraremos todos os elementos da população, e não apenas de uma amostra. Nesse caso, o cálculo possui uma pequena diferença. Observe:

(varpopulacional) = [(x1 – x)² + (x2 – x)² + (x3 – x)² + ... + (xn – x)²] / n

2.7.3. DESVIO PADRÃO

O desvio padrão é capaz de identificar o “erro” em um conjunto de dados, caso quiséssemos substituir um dos valores coletados pela média aritmética.

O desvio padrão aparece junto à média aritmética, informando o quão “confiável” é esse valor. Ele é apresentado da seguinte forma:

média aritmética (x) ± desvio padrão (dp)

O cálculo do desvio padrão é feito a partir da raiz quadrada positiva da variância.

Portanto: dp = var1/2 (o expoente 1/2 ou 0,5 é a notação de raiz quadrada). Nesse mesmo raciocínio y1/3 = y0,333... = Raiz cúbica de y. Sendo y = 9 a raiz cúbica seria 3.

Por exemplo: a raiz quadrada de 4 é igual a 2. Numa calculadora eletrônica, sendo y = 4 seria usado y1/2 = y0,5 = raiz quadrada de y. E, o resultado seria 2.

EXEMPLO MOSTRADO NO BRASIL ESCOLA

Vamos agora aplicar o calculo da variância e do desvio padrão em um exemplo:

Em uma escola, a direção decidiu observar a quantidade de alunos que apresentam todas as notas acima da média em todas as disciplinas. Para analisar melhor, a diretora Ana resolveu montar uma tabela com a quantidade de notas “azuis” em uma amostra de quatro turmas ao longo de um ano. Observe a seguir a tabela organizada pela diretora:

TURMAS
QUANTIDADE DE ALUNOS ACIMA DA MÉDIA
1º Bimestre
2º Bimestre
3º Bimestre
4º Bimestre
6º Ano
5
8
10
7
7º Ano
8
6
6
12
8º Ano
11
9
5
10
9º Ano
8
13
9
4

Antes de calcular a variância, é necessário verificar a média aritmética (x) da quantidade de alunos acima da média em cada turma:

6° ano ==> x = ( 5 + 8 + 10 + 7 ) / 4 = 30 / 4 = 7,50

7° ano ==> x = ( 8 + 6 + 6 + 12 ) / 4 = 32 / 4 = 8,00

8° ano ==> x = ( 11 + 9 + 5 + 10 ) / 4 = 35 / 4 = 8,75

9° ano ==> x = ( 8 + 13 + 9 + 4 ) / 4 = 34 / 4 = 8,50

Para calcular a variância da quantidade de alunos acima da média em cada turma, utilizamos uma amostra, por isso empregamos a fórmula da variância amostral:

Varamostral = [ (x1 – x)² + (x2 – x)² + (x3 – x)² + ... + (xn – x)² ] / ( n - 1 )

Antes de calcular a variância, é necessário verificar a média aritmética (x) da quantidade de alunos acima da média em cada turma:

6° ano ==> x = (5 + 8 + 10 + 7) / 4 = 30 / 4 = 7,50

7° ano ==> x = (8 + 6 + 6 + 12) / 4 = 32 / 4 = 8,00

8° ano ==> x = (11 + 9 + 5 + 10) / 4 = 35 / 4 = 8,75

9° ano ==> x = (8 + 13 + 9 + 4) / 4= 34 / 4 = 8,50

Para calcular a variância da quantidade de alunos acima da média em cada turma, utilizamos uma amostra, por isso empregamos a fórmula da variância amostral:

Varamostral = [ (x1 – x)² + (x2 – x)² + (x3 – x)² + ... + (xn – x)² ] / (n - 1)

Conhecida a variância de cada turma, vamos calcular agora o desvio padrão:

6° ano

dp = var1/2

dp = 4,331/2

​dp ≈ 2,08

7° ano

dp = var1/2

dp = 8,001/2

​dp ≈ 2,83

8° ano

dp = var1/2

dp = 6,911/2

​dp ≈ 2,63

9° ano

dp = var1/2

dp = 13,661/2

​dp ≈ 3,70

Não se esqueça que o expoente 1/2 = 0,5 corresponde à raiz quadrada.

Para concluir sua análise, a diretora pode apresentar os seguintes valores que indicam a quantidade média de alunos acima da média por turma pesquisada:

6° ano: 7,50 ± 2,08 alunos acima da média por bimestre

7° ano: 8,00 ± 2,83 alunos acima da média por bimestre

8° ano: 8,75 ± 2,63 alunos acima da média por bimestre

9° ano: 8,50 ± 3,70 alunos acima da média por bimestre







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