CONHECIMENTOS BANCÁRIOS
MATEMÁTICA
NOÇÕES DE ESTATÍSTICA
2.4. MODA (Revisada em 07-03-2024)
Fontes Consultadas:
Coletânea por Américo G Parada Fº - Contador - Coordenador do COSIFE - ex Auditor do BACEN
1. MEDIDAS DE CENTRALIDADE - MODA - BRASIL ESCOLA
Segundo o BRASIL ESCOLA - UOL, para que seja compreendias as medidas de Centralidade (MODA) é necessário entender Gráficos e Tabelas para que ocorra a interpretação das informações.
A Estatística trabalha com diversas informações que são dispostas por meio de gráficos e tabelas e com diversos números que representam e caracterizam um determinado grupo. Dentre todas as informações, podemos retirar valores que representem, de algum modo, todo o grupo. Esses valores são determinados de “valores de tendência central”.
Entre estes valores temos a moda. Moda é uma medida de tendência central, definida como o valor mais frequente de um grupo de valores, ou seja, o valor de maior ocorrência dentre os valores observados. A representação da moda é dada por Mo.
Compreender tudo isso apenas pela teoria não é muito interessante, portanto, vejamos alguns exemplos para que possamos melhor compreender a definição de moda.
EXEMPLO 1:
Os dados a seguir remetem à idade dos alunos de uma sala de aula.
12 - 11 - 13 - 12 - 12 - 12 - 11 - 10 - 13 - 13 - 12 - 13 - 11 - 12 - 12 - 12
Vejamos a quantidade de alunos para cada idade.
10 anos – 1 aluno
11 anos – 3 alunos
12 anos – 8 alunos
13 anos – 4 alunos
Com isso, temos que Mo=12
Ou seja, a moda da idade dos alunos é 12 anos.
Exemplo 2:
Pesquisa sobre “peso” (em quilograma) de um grupo de pessoas em uma determinada academia.
Para determinarmos a moda, temos que analisar as informações e observar qual dado aparece com maior frequência. Como se trata de uma tabela de frequência absoluta, temos a quantidade de pessoas em cada um dos intervalos dos pesos.
Sendo assim, temos que:
Mo = Entre 50 e 55 quilogramas
Ou seja, a maior quantidade de pessoas deste grupo tem entre 50 quilos e 55 quilos.
No site do BRASIL ESCOLA - UOL também existem três vídeoaulas pelo professor de matemática PEDRO ÍTALLO
2. DEFINIÇÃO E FÓRMULA - INFO-ESCOLA
Segundo o site INFO-ESCOLA, moda (representada por “Mo”) de um conjunto de dados é definida como o valor de maior freqüência, isto é, o valor que mais aparece, daí seu nome.
Apesar de seu significado ser simples, a moda nem sempre é única. Quando no conjunto existirem poucas observações, muito freqüentemente não há valores repetidos, com o que nenhum deles satisfaz a condição de moda.
Se o peso (em Kg) correspondente a nove pessoas são: 82; 65; 59; 74; 60; 67; 71 e 73 estes nove dados não possuem uma moda, sendo um conjunto amodal.
Por outro lado, se a distribuição de peso de 15 pessoas for: 63; 67; 70; 69; 81; 57; 63; 73; 68; 63; 71; 71; 71 e 83, possui duas modas (63 e 71 Kg). Neste caso a distribuição diz-se bimodal.
Será unimodal no caso de apresentar uma só moda e multimodal se apresentar várias modas.
No caso de dados agrupados em tabelas de frequências, o cálculo é feito por:
Moda Czuber = I + [(f1 - f0) / (2f1 - f0 - f2)] * h
Sendo:
I = limite inferior da classe que contém o valor modal;
f1 = frequência da classe que contém o valor modal
f0 = frequência da classe que precede a classe modal
f2 = frequência da classe que sucede a classe modal
h = tamanho do intervalo de classe
3. MODA (ESTATÍSTICA) NO WKIPÉDIA
Já o site WIKIPÉDIA apresenta uma versão mais complexa sobre MODA, destacando a Moda Bruta, a Moda de King e a Moda de Czuber. Em seguida O WIKIPÉDIA versa sobre Moda Populacional, destacando ainda (mais adiante) a sua aplicação na INFORMÁTICA.
Segundo o WIKIPÉDIA, Moda é uma das medidas de altura de um conjunto de dados, assim como a média e a mediana. Ela pode ser definida em moda amostral e populacional.
A MODA AMOSTRAL de um conjunto de dados trata do valor que ocorre com maior frequência ou o valor mais comum em um conjunto de dados.
MODA (ESTATÍSTICA) é especialmente útil quando os valores ou as observações não são numéricos, casos em que a MÉDIA e a MEDIANA não podem ser definidas. Por exemplo, a moda da amostra {maçã, banana, laranja, laranja, laranja, pêssego} é laranja.
MODA AMOSTRAL não é necessariamente única como MÉDIA ou MEDIANA.
Amostras que possuem uma moda são chamadas UNIMODAIS. Por exemplo, a amostra {1, 2, 3, 5, 5, 6, 7} tem moda 5.
Amostras que possuem duas modas são chamadas BIMODAIS. Por exemplo, a amostra {1, 2, 3, 5, 5, 6, 6} tem modas 5 e 6.
Amostras que possuem várias modas são chamadas MULTIMODAIS. Por exemplo, a amostra {1, 2, 3, 5, 5, 6, 6, 7, 7} tem modas 5, 6 e 7.
Amostras que não possuem moda são chamadas AMODAIS. Por exemplo, a amostra {1, 3, 2, 5, 7, 6} não tem moda.
A MODA POPULACIONAL de uma distribuição de probabilidade discreta é o valor {\displaystyle x}x, em que a função massa de probabilidade atinge o valor máximo. Em outras palavras, é o valor que é mais provável de ser amostrado.
A MODA POPULACIONAL de uma distribuição de probabilidade contínua é o valor {\displaystyle x}x, em que a função densidade de probabilidade atinge o valor máximo. Em outras palavras, é o valor que está no pico.
A MODA POPULACIONAL também não é necessariamente ÚNICA, uma vez que a função massa de probabilidade ou a função densidade de probabilidade podem ter o mesmo valor máximo em vários pontos {\displaystyle x_{1},x_{2}\dots }{\displaystyle x_{1},x_{2}\dots }. O caso extremo ocorre nas distribuições uniformes, em que todos os valores ocorrem com igual frequência.
De acordo com a definição acima, MÁXIMOS GLOBAIS são MODAS. Quando uma função densidade de probabilidade tem vários máximos locais, é comum referir-se a todos os máximos locais como modos de distribuição. Tal distribuição contínua é chamada MULTIMODAL (em oposição a unimodal).
Em distribuições unimodais simétricas como a distribuição normal ou distribuição gaussiana (distribuição cuja função densidade de probabilidade forma a curva em forma de sino quando representada graficamente), a média, a mediana e a moda coincidem.
Em amostras extraídas de distribuições simétricas, a média pode ser a estimativa da moda populacional. É importante lembrar que o valor expresso como maioria em um conjunto de dados não necessariamente representa o valor da moda estatística.
No decorrer do texto, os colaboradores do WIKIPÉDIA apresentam exemplos.